学习目标

• 把指数规模每次缩小一半。
• 正确处理指数为 0 和负底数。
• 避免乘法中间结果溢出 64 位范围。

前置知识与环境

先阅读第 12 章对应内容，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。

题目

用指数奇偶拆分递归计算模意义下的快速幂。

输入格式

输入三个整数 a n mod。

输出格式

输出 a^n mod mod 的非负结果。

数据范围

0 ≤ n ≤ 10^18，2 ≤ mod ≤ 10^9+7。

示例

输入

2 10 1000

输出

24

测试设计提示

公开测试至少 10 组、总分 100 分，覆盖样例、边界、典型错误与适度压力输入。测试只接受标准输出；调试信息请写到标准错误。

运行与评分

cd labs/chapter-12/exercise/E-12-06-fast-power
make run
make score

# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-12/exercise/E-12-06-fast-power
pnpm lab:score -- labs/chapter-12/exercise/E-12-06-fast-power

完成清单

• student/main.cpp 已替换占位逻辑，并能通过编译。
• 公开测试全部通过，评分为 100/100。
• 能说明递归函数语义、边界、规模缩小方式和复杂度。
• 主动构造了一个会击穿常见错误的额外输入。

思考与复盘

1. 递归函数对输入区间或问题规模承诺了什么？
2. 哪个最小反例最容易暴露边界错误？
3. 能否改写为迭代算法？两种写法的空间复杂度有何区别？