学习目标
前置知识与环境
先阅读 第 14 章对应小节，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。
题目
箱子容量为 V，有 n 个物品，每个物品只有体积且最多装一次。求装入若干物品后箱子的最小剩余空间。
输入格式
第一行 V n，随后给出 n 个物品体积。
输出格式
输出最小剩余空间。
数据范围
1 ≤ V ≤ 20000，1 ≤ n ≤ 30。
样例输入
text
24 6
8
3
12
7
9
7样例输出
text
0做题前先填状态卡
| 问题 | 本题答案 |
|---|---|
| 状态 | dp[c] 表示容量 c 内能装入的最大总体积。 |
| 选择 | 当前物品选或不选。 |
| 转移 | dp[c]=max(dp[c],dp[c-volume]+volume)。 |
| 初值 | 初值为 0。 |
| 顺序 | 物品正序，容量倒序。 |
| 答案 | V-dp[V]。 |
不要急着写循环。先用一个最小输入手算状态表，再检查每个右侧依赖是否已经计算；如果依赖来自“当前物品的新状态”，还要说明这是否意味着允许重复选择。
复杂度目标
时间 O(Vn)，空间 O(V)。
测试设计提示
公开测试共 20 组、总分 100 分，覆盖样例、最小规模、单行/单列或单元素、不可达/全负/重复值等题型边界，以及容易暴露循环方向和初始化错误的回归输入。测试只接受标准输出；调试信息请写到标准错误。
运行与评分
powershell
cd labs/chapter-14/exercise/E-14-19-box-packing
make run
# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-14/exercise/E-14-19-box-packing
# 作者与 CI 的严格检查
pnpm lab:verify -- labs/chapter-14/exercise/E-14-19-box-packing完成清单
思考与复盘
- 如果改用另一种状态定义，转移和循环顺序会怎样变化？
- 哪个最小反例最容易暴露「目标是剩余最小，不需要额外设计最小值状态；先最大化使用量更直接。」？
- 能否压缩空间？压缩后会不会覆盖本轮仍需读取的状态？
题目来源与课程化说明
核心问题参考 洛谷 P1049。本 Lab 为课程标准输入/输出环境重新表述题面，并独立编写参考实现与测试数据；不复制第三方题解、代码或隐藏测试。