学习目标

• 能独立写清状态含义、合法转移与初始化，而不是只背代码模板。
• 能实现本题的 C++17 动态规划，并解释为什么循环顺序满足依赖关系。
• 能用边界与反例检查「不能简单按坐标顺序做普通网格 DP；依赖方向由数值而不是位置决定。」这一常见错误。

前置知识与环境

先阅读 第 14 章对应小节，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。

题目

给定整数矩阵，可以从任意格出发，每一步走到上下左右相邻且数值严格更大的格子。求最长路径的格子数。

输入格式

第一行 m n，随后 m 行各 n 个整数。

输出格式

输出最长严格递增路径长度。

数据范围

1 ≤ m,n ≤ 200，元素为非负 32 位整数。

样例输入

3 3
9 9 4
6 6 8
2 1 1

样例输出

4

做题前先填状态卡

问题	本题答案
状态	memo[x][y] 表示从 (x,y) 出发的最长递增路径。
选择	选择一个值更大的相邻格。
转移	memo[x][y]=1+max(memo[nx][ny])。
初值	无可走邻格时为 1。
顺序	记忆化 DFS 自动遵循数值依赖。
答案	枚举起点后的最大缓存值。

不要急着写循环。先用一个最小输入手算状态表，再检查每个右侧依赖是否已经计算；如果依赖来自“当前物品的新状态”，还要说明这是否意味着允许重复选择。

复杂度目标

时间 O(mn)，空间 O(mn)。

测试设计提示

公开测试共 20 组、总分 100 分，覆盖样例、最小规模、单行/单列或单元素、不可达/全负/重复值等题型边界，以及容易暴露循环方向和初始化错误的回归输入。测试只接受标准输出；调试信息请写到标准错误。

运行与评分

cd labs/chapter-14/exercise/E-14-08-longest-increasing-path
make run

# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-14/exercise/E-14-08-longest-increasing-path

# 作者与 CI 的严格检查
pnpm lab:verify -- labs/chapter-14/exercise/E-14-08-longest-increasing-path

完成清单

• student/main.cpp 已替换占位逻辑，并能通过编译。
• 20 个公开测试全部通过，严格评分为 100/100。
• 能口头解释状态、转移、初始化、遍历顺序和复杂度。
• 主动构造了至少一个会击穿常见错误的额外输入。

思考与复盘

1. 如果改用另一种状态定义，转移和循环顺序会怎样变化？
2. 哪个最小反例最容易暴露「不能简单按坐标顺序做普通网格 DP；依赖方向由数值而不是位置决定。」？
3. 能否压缩空间？压缩后会不会覆盖本轮仍需读取的状态？

题目来源与课程化说明

核心问题参考 LeetCode 329。本 Lab 为课程标准输入/输出环境重新表述题面，并独立编写参考实现与测试数据；不复制第三方题解、代码或隐藏测试。