学习目标

• 能独立写清状态含义、合法转移与初始化，而不是只背代码模板。
• 能实现本题的 C++17 动态规划，并解释为什么循环顺序满足依赖关系。
• 能用边界与反例检查「边界初始化应体现可达性，不要让不存在的上方/左方重复贡献。」这一常见错误。

前置知识与环境

先阅读 第 14 章对应小节，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。

题目

机器人从 m×n 网格左上角出发，每步只能向右或向下，求到达右下角的路径数。

输入格式

一行两个整数 m n。

输出格式

输出路径总数。

数据范围

1 ≤ m,n ≤ 100，保证答案不超过 2×10^9。

样例输入

3 7

样例输出

28

做题前先填状态卡

问题	本题答案
状态	dp[i][j] 表示走到格子 (i,j) 的路径数。
选择	最后一步来自上方或左方。
转移	dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。
初值	起点为 1；首行首列由唯一方向延伸。
顺序	逐行或逐列填表。
答案	右下角状态。

不要急着写循环。先用一个最小输入手算状态表，再检查每个右侧依赖是否已经计算；如果依赖来自“当前物品的新状态”，还要说明这是否意味着允许重复选择。

复杂度目标

时间 O(mn)，空间可为 O(n)。

测试设计提示

公开测试共 20 组、总分 100 分，覆盖样例、最小规模、单行/单列或单元素、不可达/全负/重复值等题型边界，以及容易暴露循环方向和初始化错误的回归输入。测试只接受标准输出；调试信息请写到标准错误。

运行与评分

cd labs/chapter-14/exercise/E-14-12-unique-paths
make run

# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-14/exercise/E-14-12-unique-paths

# 作者与 CI 的严格检查
pnpm lab:verify -- labs/chapter-14/exercise/E-14-12-unique-paths

完成清单

• student/main.cpp 已替换占位逻辑，并能通过编译。
• 20 个公开测试全部通过，严格评分为 100/100。
• 能口头解释状态、转移、初始化、遍历顺序和复杂度。
• 主动构造了至少一个会击穿常见错误的额外输入。

思考与复盘

1. 如果改用另一种状态定义，转移和循环顺序会怎样变化？
2. 哪个最小反例最容易暴露「边界初始化应体现可达性，不要让不存在的上方/左方重复贡献。」？
3. 能否压缩空间？压缩后会不会覆盖本轮仍需读取的状态？

题目来源与课程化说明

核心问题参考 LeetCode 62。本 Lab 为课程标准输入/输出环境重新表述题面，并独立编写参考实现与测试数据；不复制第三方题解、代码或隐藏测试。