学习目标
前置知识与环境
先阅读 第 14 章对应小节，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。
题目
给定一个非负整数网格，从左上角走到右下角，每步只能向右或向下。路径代价为经过格子的数字总和，求最小代价。
输入格式
第一行 m n，随后 m 行各 n 个非负整数。
输出格式
输出最小路径和。
数据范围
1 ≤ m,n ≤ 200，格值在 0..200。
样例输入
text
3 3
1 3 1
1 5 1
4 2 1样例输出
text
7做题前先填状态卡
| 问题 | 本题答案 |
|---|---|
| 状态 | dp[i][j] 表示到达 (i,j) 的最小路径和。 |
| 选择 | 最后一步来自上方或左方。 |
| 转移 | dp[i][j]=grid[i][j]+min(up,left)。 |
| 初值 | 起点等于自身格值，边界只能沿单一方向累加。 |
| 顺序 | 左上到右下。 |
| 答案 | 右下角状态。 |
不要急着写循环。先用一个最小输入手算状态表，再检查每个右侧依赖是否已经计算；如果依赖来自“当前物品的新状态”，还要说明这是否意味着允许重复选择。
复杂度目标
时间 O(mn)，空间 O(n)。
测试设计提示
公开测试共 20 组、总分 100 分，覆盖样例、最小规模、单行/单列或单元素、不可达/全负/重复值等题型边界，以及容易暴露循环方向和初始化错误的回归输入。测试只接受标准输出；调试信息请写到标准错误。
运行与评分
powershell
cd labs/chapter-14/exercise/E-14-15-minimum-path-sum
make run
# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-14/exercise/E-14-15-minimum-path-sum
# 作者与 CI 的严格检查
pnpm lab:verify -- labs/chapter-14/exercise/E-14-15-minimum-path-sum完成清单
思考与复盘
- 如果改用另一种状态定义，转移和循环顺序会怎样变化？
- 哪个最小反例最容易暴露「不存在的前驱应视为正无穷而非 0，否则边界会凭空获得更小路径。」？
- 能否压缩空间？压缩后会不会覆盖本轮仍需读取的状态？
题目来源与课程化说明
核心问题参考 LeetCode 64。本 Lab 为课程标准输入/输出环境重新表述题面，并独立编写参考实现与测试数据；不复制第三方题解、代码或隐藏测试。