学习目标
前置知识与环境
先阅读 第 14 章对应小节，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。
题目
两名同学同时从网格左上角走向右下角，每一步各自只能向右或向下。经过格子可获得该格的好感值；若两人在同一步位于同一格，该格只计一次。求两条路径可获得的最大总和。
输入格式
第一行 m n，随后 m 行各 n 个非负好感值。
输出格式
输出最大总和。
数据范围
2 ≤ m,n ≤ 50，格值非负。
样例输入
text
3 3
0 2 3
4 5 6
7 8 0样例输出
text
32做题前先填状态卡
| 问题 | 本题答案 |
|---|---|
| 状态 | dp[k][x1][x2] 表示走了 k 步、两人行坐标为 x1/x2 时的最大收益，列坐标由 k 推出。 |
| 选择 | 两人上一步各自来自左或上，共四种组合。 |
| 转移 | 取四个前驱最大值，再加入两个当前位置的值；重合时只加一次。 |
| 初值 | 两人都在起点，收益为起点值。 |
| 顺序 | 同步步数 k 递增。 |
| 答案 | 两人同时到达终点的状态。 |
不要急着写循环。先用一个最小输入手算状态表，再检查每个右侧依赖是否已经计算；如果依赖来自“当前物品的新状态”，还要说明这是否意味着允许重复选择。
复杂度目标
时间 O((m+n)m²)，空间 O(m²) 滚动。
测试设计提示
公开测试共 20 组、总分 100 分，覆盖样例、最小规模、单行/单列或单元素、不可达/全负/重复值等题型边界，以及容易暴露循环方向和初始化错误的回归输入。测试只接受标准输出；调试信息请写到标准错误。
运行与评分
powershell
cd labs/chapter-14/exercise/E-14-16-message-passing
make run
# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-14/exercise/E-14-16-message-passing
# 作者与 CI 的严格检查
pnpm lab:verify -- labs/chapter-14/exercise/E-14-16-message-passing完成清单
思考与复盘
- 如果改用另一种状态定义，转移和循环顺序会怎样变化？
- 哪个最小反例最容易暴露「不能把两条路径分别求最优后相加；它们在重合格上的收益存在耦合。」？
- 能否压缩空间？压缩后会不会覆盖本轮仍需读取的状态？
题目来源与课程化说明
核心问题参考 洛谷 P1006。本 Lab 为课程标准输入/输出环境重新表述题面，并独立编写参考实现与测试数据；不复制第三方题解、代码或隐藏测试。