学习目标
前置知识与环境
先阅读 第 14 章对应小节，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。
题目
给定一个 n 行数字三角形。从顶点出发，每次只能走到下一行相邻的左下或右下位置，求到达最后一行时能取得的最大数字和。
输入格式
第一行 n，随后第 i 行给出 i 个整数。
输出格式
输出一条合法顶到底路径的最大数字和。
数据范围
1 ≤ n ≤ 1000，每个数字在 0..100。
样例输入
text
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5样例输出
text
30做题前先填状态卡
| 问题 | 本题答案 |
|---|---|
| 状态 | dp[i][j] 表示到达第 i 行第 j 个位置的最大和。 |
| 选择 | 由左上父结点或右上父结点到达。 |
| 转移 | dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])，越界父状态忽略。 |
| 初值 | dp[0][0]=a[0][0]。 |
| 顺序 | 逐行自上而下。 |
| 答案 | 最后一行所有状态的最大值。 |
不要急着写循环。先用一个最小输入手算状态表，再检查每个右侧依赖是否已经计算；如果依赖来自“当前物品的新状态”，还要说明这是否意味着允许重复选择。
复杂度目标
时间 O(n²)，空间 O(n²)；一维倒序可降到 O(n)。
测试设计提示
公开测试共 20 组、总分 100 分，覆盖样例、最小规模、单行/单列或单元素、不可达/全负/重复值等题型边界，以及容易暴露循环方向和初始化错误的回归输入。测试只接受标准输出；调试信息请写到标准错误。
运行与评分
powershell
cd labs/chapter-14/exercise/E-14-03-number-triangle
make run
# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-14/exercise/E-14-03-number-triangle
# 作者与 CI 的严格检查
pnpm lab:verify -- labs/chapter-14/exercise/E-14-03-number-triangle完成清单
思考与复盘
- 如果改用另一种状态定义，转移和循环顺序会怎样变化？
- 哪个最小反例最容易暴露「边缘结点只有一个父状态，不能把不存在的父状态默认为 0 后参与一般数据比较。」？
- 能否压缩空间？压缩后会不会覆盖本轮仍需读取的状态？
题目来源与课程化说明
核心问题参考 洛谷 P1216。本 Lab 为课程标准输入/输出环境重新表述题面，并独立编写参考实现与测试数据；不复制第三方题解、代码或隐藏测试。