学习目标

• 能写清递归函数的输入、返回值、边界条件与规模递减方式。
• 能识别本题的拆分与合并阶段，并独立完成 C++17 实现。
• 能用边界或反例解释「指数 0 和 1 有特殊格式，不能统一写成 2(encode(exp))。」。

前置知识与环境

先阅读 第 12 章对应小节，并确保本机可使用 C++17。首次运行可执行 make doctor；Windows 未安装 Make 时可在仓库根使用 pnpm 命令。

题目

把正整数写成若干个 2 的幂之和，并继续递归表示指数。指数 0 写成 2(0)，指数 1 写成 2，其余写成 2(expression)；各项按指数从大到小排列。

输入格式

一行一个整数 n。

输出格式

输出 n 的题目规定幂次表示，不输出空格。

数据范围

1 ≤ n ≤ 20000。

样例输入

137

样例输出

2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)

递归契约卡

问题	本题答案
子问题契约	encode(n) 返回整数 n 的唯一规范字符串。
Divide	找出所有为 1 的二进制位；大于 1 的位指数继续交给 encode。
Conquer	对规模严格更小的子问题递归求解；达到最小规模时直接返回。
Combine	按指数降序用 + 连接各项。
终止性检查	每次递归都缩短区间、减小规模或把下标映射到更短的一层。

WARN易错点

指数 0 和 1 有特殊格式，不能统一写成 2(encode(exp))。

复杂度目标

主层扫描 O(log n) 个二进制位，递归指数很小；空间为递归深度 O(log log n)。

测试设计提示

公开测试共 20 组、每组 5 分，总分 100 分。它们覆盖样例、最小规模、边界值、重复值、负数或极值、典型回归输入和适度压力数据。测试只读取标准输出；调试信息请写到标准错误。

运行与评分

cd labs/chapter-12/exercise/E-12-02-power-expression
make run

# 没有 Make 时，在仓库根执行
pnpm lab:run -- labs/chapter-12/exercise/E-12-02-power-expression

# 作者与 CI 的严格检查
pnpm lab:verify -- labs/chapter-12/exercise/E-12-02-power-expression

完成清单

• student/main.cpp 已替换占位逻辑，并能通过编译。
• 20 个公开测试全部通过，严格评分为 100/100。
• 能口头说明递归契约、基本情况、规模递减与合并不变量。
• 主动构造了至少一个会击穿常见错误的额外输入。

思考与复盘

1. 如果把子问题契约改成另一种区间语义，边界和合并会怎样变化？
2. 哪个最小反例最容易暴露「指数 0 和 1 有特殊格式，不能统一写成 2(encode(exp))。」？
3. 递归调用栈保存了哪些信息？能否安全改写成迭代？

题目来源与课程化说明

核心问题参考 洛谷 P1010。本 Lab 为统一的标准输入/输出环境重新表述题面，并独立编写参考实现与测试数据；不复制第三方题解、代码或隐藏测试。若本地输出合同与原平台不同，以上“输出格式”和“递归契约卡”是本 Lab 的判定依据。